MECÂNICA GENERALIZADA GRACELI - QUÂNTICA QUÍMICA RELATIVISTA. [25]

EQUAÇÃO GERAL DE GRACELI.

G ψ = E ψ = E $\lambda$ ψ ω Mom= $\,N_{A}$ $\,M$ $\,z^{+}$ $\,z^{-}$ $\,e$ [/ $\,\epsilon _{o}$ ] / $\,r_{0}$ / = $\lambda$ ħω $q\ \$ [Ϡ ] [ξ ] [,ς] $g_{s}$ $\epsilon _{s}$ ${\vec {A}}\ \$ ${\begin{pmatrix}\psi _{0}\\\psi _{1}\end{pmatrix}}$ ψ μ / h/c ψ(x, t) $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ x t ]..

Se q é a carga da gota e E é o campo eléctrico aplicado entre as placas para que a gota comece a mover-se para cima com uma velocidade uniforme $v_{1}$ , então a força ascendente resultante é^[3]

$E.q-{\frac {4}{3}}\pi .a^{3}(\rho -d).g.$ G ψ = E ψ = E $\lambda$ ψ ω Mom= $\,N_{A}$ $\,M$ $\,z^{+}$ $\,z^{-}$ $\,e$ [/ $\,\epsilon _{o}$ ] / $\,r_{0}$ / = $\lambda$ ħω $q\ \$ [Ϡ ] [ξ ] [,ς] $g_{s}$ $\epsilon _{s}$ ${\vec {A}}\ \$ ${\begin{pmatrix}\psi _{0}\\\psi _{1}\end{pmatrix}}$ ψ μ / h/c ψ(x, t) $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ x t ]..

Portanto

$E.q-{\frac {4}{3}}\pi .a^{3}(\rho -d).g=6\pi .a.\eta .v_{1}$ G ψ = E ψ = E $\lambda$ ψ ω Mom= $\,N_{A}$ $\,M$ $\,z^{+}$ $\,z^{-}$ $\,e$ [/ $\,\epsilon _{o}$ ] / $\,r_{0}$ / = $\lambda$ ħω $q\ \$ [Ϡ ] [ξ ] [,ς] $g_{s}$ $\epsilon _{s}$ ${\vec {A}}\ \$ ${\begin{pmatrix}\psi _{0}\\\psi _{1}\end{pmatrix}}$ ψ μ / h/c ψ(x, t) $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ x t ]..

a partir da equação da força resultante dirigida para baixo, temos

$E.q=6\pi .\eta .a.(v+v_{1})$ G ψ = E ψ = E $\lambda$ ψ ω Mom= $\,N_{A}$ $\,M$ $\,z^{+}$ $\,z^{-}$ $\,e$ [/ $\,\epsilon _{o}$ ] / $\,r_{0}$ / = $\lambda$ ħω $q\ \$ [Ϡ ] [ξ ] [,ς] $g_{s}$ $\epsilon _{s}$ ${\vec {A}}\ \$ ${\begin{pmatrix}\psi _{0}\\\psi _{1}\end{pmatrix}}$ ψ μ / h/c ψ(x, t) $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ x t ]..

sabendo dessas propriedades podemos escrever:

$q={\frac {6\pi .\eta }{E}}{\Bigg [}{\frac {9.v.\eta }{2.g.(\eta -d)}}{\Bigg ]}^{\frac {1}{2}}.(v+v_{1})$ G ψ = E ψ = E $\lambda$ ψ ω Mom= $\,N_{A}$ $\,M$ $\,z^{+}$ $\,z^{-}$ $\,e$ [/ $\,\epsilon _{o}$ ] / $\,r_{0}$ / = $\lambda$ ħω $q\ \$ [Ϡ ] [ξ ] [,ς] $g_{s}$ $\epsilon _{s}$ ${\vec {A}}\ \$ ${\begin{pmatrix}\psi _{0}\\\psi _{1}\end{pmatrix}}$ ψ μ / h/c ψ(x, t) $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ x t ]..

Método

Inicialmente as gotas de óleo caem entre os pratos com o campo elétrico desligado. Elas muito rapidamente alcançam a velocidade terminal por causa da fricção com o ar na câmara. O campo depois é ligado e, se for grande o bastante, algumas das gotas (as carregadas) vão começar a subir. (isto porque a força elétrica superior "FE" que aponta para cima é maior do que a força gravitacional "W", que aponta para baixo). uma provável gota visível é selecionada e mantida no meio do campo de visão, e vai então se desligando alternadamente a voltagem até que todas as outras gotas tenham caído. O experimento é depois continuado com esta gota.

A gota é permitida cair e a sua velocidade terminal V1 na ausência de um campo elétrico é calculada. A força de (arraste física/ arraste) que age na gota pode depois ser trabalhada fora usando a Lei de Stokes:

$F=6\pi r\eta v_{1}\,$ G ψ = E ψ = E $\lambda$ ψ ω Mom= $\,N_{A}$ $\,M$ $\,z^{+}$ $\,z^{-}$ $\,e$ [/ $\,\epsilon _{o}$ ] / $\,r_{0}$ / = $\lambda$ ħω $q\ \$ [Ϡ ] [ξ ] [,ς] $g_{s}$ $\epsilon _{s}$ ${\vec {A}}\ \$ ${\begin{pmatrix}\psi _{0}\\\psi _{1}\end{pmatrix}}$ ψ μ / h/c ψ(x, t) $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ x t ]..

Onde "v1" é a velocidade terminal (i.e velocidade na ausência do campo elétrico) da gota caindo, "n" é a viscosidade do ar, e "r" é o raio da gota.

O peso da gota

$P={\frac {4}{3}}\pi .\rho .a^{3}.g$ G ψ = E ψ = E $\lambda$ ψ ω Mom= $\,N_{A}$ $\,M$ $\,z^{+}$ $\,z^{-}$ $\,e$ [/ $\,\epsilon _{o}$ ] / $\,r_{0}$ / = $\lambda$ ħω $q\ \$ [Ϡ ] [ξ ] [,ς] $g_{s}$ $\epsilon _{s}$ ${\vec {A}}\ \$ ${\begin{pmatrix}\psi _{0}\\\psi _{1}\end{pmatrix}}$ ψ μ / h/c ψ(x, t) $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ x t ]..

Se a gota está no ar, ela experimenta uma força de impulsão

$I={\frac {4}{3}}\pi .a^{3}d.g$ G ψ = E ψ = E $\lambda$ ψ ω Mom= $\,N_{A}$ $\,M$ $\,z^{+}$ $\,z^{-}$ $\,e$ [/ $\,\epsilon _{o}$ ] / $\,r_{0}$ / = $\lambda$ ħω $q\ \$ [Ϡ ] [ξ ] [,ς] $g_{s}$ $\epsilon _{s}$ ${\vec {A}}\ \$ ${\begin{pmatrix}\psi _{0}\\\psi _{1}\end{pmatrix}}$ ψ μ / h/c ψ(x, t) $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ x t ]..

A força resultante dirigida para baixo:

$P_{\text{res}}={\frac {4}{3}}\pi .a^{3}.g.(\rho -d)$ G ψ = E ψ = E $\lambda$ ψ ω Mom= $\,N_{A}$ $\,M$ $\,z^{+}$ $\,z^{-}$ $\,e$ [/ $\,\epsilon _{o}$ ] / $\,r_{0}$ / = $\lambda$ ħω $q\ \$ [Ϡ ] [ξ ] [,ς] $g_{s}$ $\epsilon _{s}$ ${\vec {A}}\ \$ ${\begin{pmatrix}\psi _{0}\\\psi _{1}\end{pmatrix}}$ ψ μ / h/c ψ(x, t) $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ x t ]..

Onde ρ e d são densidades do óleo e do ar, respectivamente. Agora na velocidade terminal, a força resultante para baixo é a força de viscosidade

${\frac {4}{3}}\pi .a^{3}.g.(\rho -d)=6\pi .\eta .a.v\Rightarrow \;a={\sqrt {{\Bigg [}{\frac {9\eta .v}{2.g.(\rho -d)}}{\Bigg ]}}}$ G ψ = E ψ = E $\lambda$ ψ ω Mom= $\,N_{A}$ $\,M$ $\,z^{+}$ $\,z^{-}$ $\,e$ [/ $\,\epsilon _{o}$ ] / $\,r_{0}$ / = $\lambda$ ħω $q\ \$ [Ϡ ] [ξ ] [,ς] $g_{s}$ $\epsilon _{s}$ ${\vec {A}}\ \$ ${\begin{pmatrix}\psi _{0}\\\psi _{1}\end{pmatrix}}$ ψ μ / h/c ψ(x, t) $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ x t ]..

O peso "P" ´o volume "V" multiplicado pela densidade "p" e a aceleração devido a gravidade "g". De qualquer modo o que se precisa é do peso aparente. O peso aparente no ar é o verdadeiro peso menos o empuxo para cima (que é igual ao peso do ar deslocado pela gota de óleo). Para uma gotinha perfeitamente esférica o peso aparente pode ser escrito como:

$P={\frac {4}{3}}\pi r^{3}g(\rho _{air})$ G ψ = E ψ = E $\lambda$ ψ ω Mom= $\,N_{A}$ $\,M$ $\,z^{+}$ $\,z^{-}$ $\,e$ [/ $\,\epsilon _{o}$ ] / $\,r_{0}$ / = $\lambda$ ħω $q\ \$ [Ϡ ] [ξ ] [,ς] $g_{s}$ $\epsilon _{s}$ ${\vec {A}}\ \$ ${\begin{pmatrix}\psi _{0}\\\psi _{1}\end{pmatrix}}$ ψ μ / h/c ψ(x, t) $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ x t ]..

Agora na velocidade terminal a gota de óleo não é acelerada. Então a força total atuando nela deve ser zero. Portanto as duas forças F e W devem cancelar uma a outra.

F = W implica:

$r^{2}={\frac {9\eta v_{1}}{2g(\rho _{air})}}$ G ψ = E ψ = E $\lambda$ ψ ω Mom= $\,N_{A}$ $\,M$ $\,z^{+}$ $\,z^{-}$ $\,e$ [/ $\,\epsilon _{o}$ ] / $\,r_{0}$ / = $\lambda$ ħω $q\ \$ [Ϡ ] [ξ ] [,ς] $g_{s}$ $\epsilon _{s}$ ${\vec {A}}\ \$ ${\begin{pmatrix}\psi _{0}\\\psi _{1}\end{pmatrix}}$ ψ μ / h/c ψ(x, t) $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ x t ]..

uma vez que "r" é calculado, "W" pode ser facilmente descoberto.

Agora o campo está novamente ligado. $F_{E}=qE$ Onde "q" é a carga na gota de óleo e "E" é o campo elétrico entre as placas. Para placas paralelas

$E={\frac {V}{d}}$ G ψ = E ψ = E $\lambda$ ψ ω Mom= $\,N_{A}$ $\,M$ $\,z^{+}$ $\,z^{-}$ $\,e$ [/ $\,\epsilon _{o}$ ] / $\,r_{0}$ / = $\lambda$ ħω $q\ \$ [Ϡ ] [ξ ] [,ς] $g_{s}$ $\epsilon _{s}$ ${\vec {A}}\ \$ ${\begin{pmatrix}\psi _{0}\\\psi _{1}\end{pmatrix}}$ ψ μ / h/c ψ(x, t) $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ x t ]..

Onde "V" é a diferença de potencial e "d" é a distância entre as placas.

Um modo aceitável para descobrir "q" seria ajustar "V" até a gota de óleo permanecer fixa. Depois nós podemos igualar "F""E" com "W". Mas na prática isto é extremamente difícil de fazer precisamente. Uma aproximação mais variada é virar "V" ligeiramente para cima de forma que a gota de óleo suba com uma nova velocidade terminal "V"2 . Depois:

$qE-W=6\pi r\eta v_{2}={\frac {Wv_{2}}{v_{1}}}\,$ G ψ = E ψ = E $\lambda$ ψ ω Mom= $\,N_{A}$ $\,M$ $\,z^{+}$ $\,z^{-}$ $\,e$ [/ $\,\epsilon _{o}$ ] / $\,r_{0}$ / = $\lambda$ ħω $q\ \$ [Ϡ ] [ξ ] [,ς] $g_{s}$ $\epsilon _{s}$ ${\vec {A}}\ \$ ${\begin{pmatrix}\psi _{0}\\\psi _{1}\end{pmatrix}}$ ψ μ / h/c ψ(x, t) $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ x t ]..

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